數學家找到第一個"無法穿過自身"的形狀

2025-10-28 | 來源: 煎蛋網 | 轉到微信 | 有0人參與評論 | 字體: 放大縮小 | 收藏 | 打印

此後所有研究都依賴這個思路：改變形狀方向，尋找能讓“影子”嵌入另一影子的角度。借助計算機，數學家們陸續在復雜多面體中找到了各種穿越路徑。某些幾乎緊到極限，比如“增三四面體”的通道僅比半徑大0.000002倍。

但計算也暴露了奇特的規律——對某個形狀，算法要麼很快找到通道，要麼永遠找不到。約翰斯·霍普金斯大學的Benjamin Grimmer說，他讓電腦連續運行兩周，嘗試讓一種由62個正多邊形組成的“菱方截二十面體”通過自身，結果毫無進展。

不過，找不到通道並不意味著它真的不行。畢竟方向無限多，電腦只能檢查有限數量。也許通道只是藏得更深。

Murphy開始生成上億種形狀：隨機的、多對稱的、頂點在球面上的，甚至刻意破壞已有通道的形狀。幾乎所有都能找到穿越路徑。這讓人們更確信，真正的“不行”形狀一定非常罕見。

Steininger和Yurkevich早在少年時期就是數學奧賽搭檔。雖然一個拿了碩士、一個拿了博士後都離開學術界，他們仍常聚在一起解謎。

“我們幾個小時前還在吃披薩，全程都在聊數學。”Steininger笑著說。

五年前，他們看到一個立方體穿過另一個的視頻，被深深吸引。他們寫了算法尋找穿越通道，逐漸確信某些形狀根本不具備Nopert性質。2021年，他們首次提出“菱方截二十面體”可能是反例。

要證明某形狀是Nopert，就必須排除所有可能的方向。數學上，每種方向都可轉化為一個“參數空間”中的點。若在某方向上影子超出邊界，就能排除那一點。有時偏差很大，就能排除一整片區域。Steininger和Yurkevich提出了“全局定理”，用來計算能排除的區域大小。

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如果這些區域最終覆蓋整個空間，就能證明形狀確實無法穿過自身。但有時偏差太小，只能排除微小的片段。於是，他們又提出“局部定理”：若影子的三個頂點形成的三角形正好包住中心點，那麼任何輕微旋轉都會讓影子向外膨出，從而無法嵌入原影子。這意味著，在這種情況下，也不存在通道。

他們檢查了幾百種對稱的多面體，結果全都失敗——沒有哪種形狀的所有影子都滿足條件。於是，他們決定“造”一個。

經過不斷迭代，算法生成了Noperthedron：一個由150個三角形和兩個十五邊形組成的幾何體，形似一個胖胖的水晶花瓶，底部和頂部都很寬。有人甚至3D打印出模型當筆筒。

他們將所有可能的方向空間分成1800萬個小格子，對每個格子的中心點進行檢測，沒有一個能產生通道。接著又用局部定理和全局定理驗證每個格子都能被排除。既然整個空間都被覆蓋，證明完成——Noperthedron徹底沒有“穿越自身”的可能。

“長期以來的自然假設被推翻了，”Smith學院的Joseph O’Rourke評價道。